Hoe om die oombliklike spoed te bereken

Spoed word gedefinieer as die spoed van `n voorwerp in `n gegewe rigting. In baie algemene situasies, om die spoed wat ons gebruik die vergelyking v = s / t, waar "v" is die spoed te vind, "s" is die verskuiwing van die aanvanklike posisie van die voorwerp en "t" is gelyk aan die tydsverloop. Tegnies gee dit egter net die spoed Gemiddelde van die voorwerp tydens sy reis. Deur berekening is dit moontlik om die spoed van `n voorwerp te eniger tyd tydens sy reis te bepaal. Dit staan bekend as

conținut

Stappe
Deel 1bereken die oombliklike snelheid
Deel 2skat die oombliklike spoed met `n grafiek
Deel 3voorbeelde
Wenke

oombliklike snelheid en word met die vergelyking gedefinieer v = (ds) / (dt) of, met ander woorde, die afgeleide van die vergelyking van die gemiddelde snelheid van die voorwerp.

stappe

Deel 1
Bereken die oombliklike snelheid

Prent getiteld Bereken oombliklike snelheid Stap 1

Begin met `n vergelyking vir spoed in terme van verplasing. Om die oombliklike snelheid van `n voorwerp te bepaal, moet ons eers `n vergelyking hê wat ons sy posisie (in terme van verplasing) op `n sekere tydstip aandui. Dit beteken dat die vergelyking die veranderlike moet hê s op `n geïsoleerde kant en t in die ander (nie noodwendig geïsoleer nie), op hierdie manier:

s = -1.5t + 10t + 4

In hierdie vergelyking is die veranderlikes:
Verplasing = s . Die afstand wat die voorwerp van sy aanvanklike posisie af gereis het. Byvoorbeeld, as `n voorwerp 10 meter vorentoe beweeg en 7 meter terug, is die totale verplasing daarvan 10 - 7 = 3 meter (nie 10 + 7 = 17 meter).
Tyd = t . Dit hoef nie te verduidelik nie. Gewoonlik word dit in sekondes gemeet.

Prent getiteld Bereken oombliklike snelheid Stap 2

Neem die afgeleide van die vergelyking. die afgelei van `n vergelyking is net `n ander vergelyking wat jou die helling op enige gegewe tydstip vertel. Om die afgeleide van die verplasingsformule te vind, onderskei die funksie met hierdie algemene reël om die afgeleides te vind: As y = a * x, Afgeleide = a * n * x. Hierdie reël geld vir alle terme op die "t" kant van die vergelyking.

Met ander woorde, begin op die "t" kant van die vergelyking, van links na regs. Elke keer as jy `n "t" bereik, trek 1 van die eksponent af en vermenigvuldig die hele termyn deur die oorspronklike eksponent. Alle konstante terme (terme bevat nie "t") verdwyn omdat vermenigvuldig met 0. Eintlik is hierdie proses is nie so moeilik soos parece- ons lei die vergelyking in die vorige stap by wyse van voorbeeld:

s = -1.5t + 10t + 4
(2) -1.5t + (1) 10t + (0) 4t
-3t + 10t
-3t + 10

Prent getiteld Bereken oombliklike snelheid Stap 3

Vervang die "s" met "ds / dt". Om te bewys dat ons nuwe vergelyking `n afgeleide van die eerste is, vervang ons s met die notasie "ds / dt". Tegnies beteken hierdie notasie "die afgeleide van s met betrekking tot" t ". `N Eenvoudiger manier om hieroor te dink, is om eenvoudig te oorweeg dat ds / dt die helling van `n gegewe punt in die eerste vergelyking is. Byvoorbeeld, om die helling van die lyn wat gemaak is deur s = -1.5t + 10t + 4 by t = 5 te vind, gee ons eenvoudig `5` tot `t` in sy afgeleide.

In ons huidige voorbeeld moet ons finale vergelyking só lyk:

ds / dt = -3t + 10

Prent getiteld Bereken oombliklike snelheid Stap 4

Gee `n waarde van "t" vir die nuwe vergelyking om die oombliklike snelheid te bepaal. Noudat jy die afgeleide vergelyking het, sal die oombliklike snelheid op enige tydstip maklik wees. Al wat jy moet doen, is om `n waarde vir "t" te kies en dit in jou afgeleide vergelyking te vervang. Byvoorbeeld, as ons die oombliklike snelheid by t = 5 wil vind, vervang ons eenvoudig "5" met "t" in die afgeleide ds / dt = -3 + 10. Dan sal ons die vergelyking op die volgende manier oplos:

ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 meter per sekonde

Hou in gedagte dat ons in die skema die etiket "meter per sekonde" gebruik. Aangesien ons te doen het met verplasing in terme van meters en tyd in terme van sekondes, en spoed in die algemeen is bloot verplasing oor tyd, is hierdie etiket voldoende.

Deel 2
Skat die oombliklike spoed met `n grafiek

Prent getiteld Bereken oombliklike snelheid Stap 5

Teken die verplasing van die voorwerp deur die tyd. In die vorige afdeling het ons genoem dat die afgeleides eenvoudig formules is wat ons toelaat om die helling op enige punt te vind vir die vergelyking waarvoor u die afgeleide geneem het. Om die waarheid te sê, as jy die verplasing van `n voorwerp met `n lyn in `n grafiese voorstelling voorstel, die helling van die lyn op enige gegewe punt sal gelyk wees aan die oombliklike snelheid van die voorwerp op daardie punt.
Om die verplasing van `n voorwerp te grafiek, gebruik die "x" -as om die tyd en die "y" -as voor te stel wat die verplasing verteenwoordig. dan, spoor die punte Wanneer u waardes in u verplasingsvergelyking gee, kry u die waardes van "s" vir u antwoorde en merk die punte t, s (x, y) in die grafiek.
Let daarop dat die grafiek onder die "x" -as kan strek. As die lyn wat die beweging van die voorwerp voorstel, onder die "x" -as val, sal dit die beweging van die voorwerp verteenwoordig onder sy oorsprongspunt. Oor die algemeen gaan die grafiek nie onder die "y" -as uitsteek nie, dus meet ons nie altyd die spoed vir voorwerpe wat agteruit beweeg nie!

Prent getiteld Bereken oombliklike snelheid Stap 6

Kies `n punt P en `n punt Q wat naby aan die helling op die lyn is. Om die helling van `n lyn op `n enkele punt P te vind, gebruik ons `n truuk genaamd `neem `n limiet`. Dit behels twee punte (P plus Q, `n punt naby dit) op die geboë lyn en vind die helling van die lyn wat hulle weer en weer koppel, aangesien die afstand tussen P en Q korter word.

Veronderstel ons verplasing lyn bevat punte (1,3) en (4,7). In hierdie geval, as ons die helling in (1,3) wil vind, kan ons dit vasstel (1,3) = P en (4.7) = Q.

Prent getiteld Bereken oombliklike snelheid Stap 7

Vind die helling tussen P en Q. Die helling tussen P en Q is die verskil in die waardes van "y" vir P en Q oor die verskil in die waardes van "x" vir P en Q. Met ander woorde, H = (en_Q - en_P) / (x_Q - x_P), waar H die helling tussen die twee punte is. In ons voorbeeld is die helling tussen P en Q:

H = (en_Q - en_P) / (x_Q - x_P)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33

Prent getiteld Bereken oombliklike snelheid Stap 8

Herhaal hierdie stap `n paar keer, beweeg Q nader en nader aan P. Jou doel is om die afstand tussen P en Q kleiner en kleiner te maak totdat jy `n enkele punt nader. Hoe kleiner die afstand tussen P en Q, hoe nader sal die helling van die klein lynsegmente teen die helling by punt P wees. Kom ons doen dit `n paar keer vir ons vergelyking deur die punte (2,4,8), (1,5,3,95 ) en (1.25.3.49) vir Q en ons oorspronklike punt van (1,3) vir P:

Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1.8) / (1) = 1.8

Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (.95) / (.5) = 1.9

Q = (1.25.3.49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (. 49) / (.25) = 1.96

Prent getiteld Bereken oombliklike snelheid Stap 9

Skat die helling vir `n oneindige klein interval op die lyn. Soos Q nader en nader aan P kom, kom H nader en nader aan die helling by punt P. In die lang termyn sal H met `n oneindig klein interval gelyk wees aan die helling by P. Omdat ons nie kan Om `n oneindig klein interval te meet of te bereken, skat ons slegs die helling by P sodra dit vry is van die punte wat ons getoets het.

In ons voorbeeld kry ons die waardes van 1.8, 1.9 en 1.96 vir H. Aangesien hierdie getalle 2 nader, kan ons dit sê 2 dit is `n goeie skatting vir die helling in P.

Onthou dat die helling by `n gegewe punt van `n lyn gelyk is aan die afgeleide van die vergelyking van die lyn op daardie stadium. Aangesien ons lyn die verplasing van die voorwerp oor tyd toon, en soos ons in die vorige gedeelte gesien het, is die oombliklike snelheid van `n voorwerp die afgeleide van sy verplasing op `n sekere punt, ons kan dit sê 2 meter per sekonde dit is `n goeie skatting vir die oombliklike snelheid by t = 1.

Deel 3
voorbeelde

Prent getiteld Bereken oombliklike snelheid Stap 10

Vind die oombliklike snelheid by t = 4 sedert die verplasingsvergelyking s = 5t - 3t + 2t + 9. Dit is soortgelyk aan ons voorbeeld in die eerste gedeelte, behalwe dat ons `n kubiese vergelyking hanteer in plaas van `n kwadratiese vergelyking, sodat ons dit op dieselfde manier kan oplos.

Eerstens sal ons die afgeleide van ons vergelyking neem:
s = 5t - 3t + 2t + 9
s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
15t - 6t + 2t - 6t + 2
Dan sal ons die waarde aan t (4) gee:
s = 15t - 6t + 2
15 (4) - 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 meter per sekonde

Prent getiteld Bereken oombliklike snelheid Stap 11

Gebruik `n grafiese skatting om die oombliklike snelheid in (1,3) vir die verplasingsvergelyking s = 4t - t te vind. Vir hierdie probleem gebruik ons (1,3) as ons punt P, maar ons sal ander nabygeleë punte moet kry om dit as ons Q punte te gebruik. Dit is dus net `n kwessie om die waardes vir H te vind en `n skatting te maak.

Laat ons eers die punte van Q vind by t = 2, 1.5, 1.1 en in 1.01.

s = 4t - t

t = 2: s = 4 (2) - (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, dan Q = (2,14)

t = 1.5: s = 4 (1.5) - (1.5)
4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5, dan Q = (1.5.7.5)

t = 1.1: s = 4 (1.1) - (1.1)
4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74, dan Q = (1,1,3,74)

t = 1.01: s = 4 (1.01) - (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, dan Q = (1.01.3.0704)

Vind dan die waardes van H:

Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) = 11

Q = (1.5.7.5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
H = (4.5) / (.5) = 9

Q = (1,1,3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
H = (. 74) / (. 1) = 7.3

Q = (1.01.3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
H = (.0704) / (.01) = 7.04

Aangesien die waardes van H lyk nagenoeg 7, kan ons dit sê 7 meter per sekonde dit is `n goeie skatting vir die oombliklike snelheid in (1,3).

wenke

Om die versnelling (die verandering in snelheid oor tyd) te vind, gebruik die metode van die eerste deel om `n afgeleide vergelyking vir die verplasingfunksie te verkry. Neem dan nog `n afgeleide, maar hierdie keer, een van die afgeleide vergelyking. Dit gee jou `n vergelyking waarin jy die versnelling op `n gegewe oomblik moet vind. Al wat jy moet doen is om dit vir die tyd waardeer.
Die vergelyking wat Y (verplasing) tot X (tyd) betref, kan redelik eenvoudig wees, byvoorbeeld Y = 6x + 3. In hierdie geval is die helling konstant en is dit nie nodig om `n afgeleide te vind om dit te vind nie, dit is 6, volgens Y = mx + b `n basiese model vir lineêre grafieke.
Die verplasing is soos die afstand, maar het `n gevestigde rigting, wat dit `n vektor en die spoed op `n skaal maak. Die verplasing kan negatief wees, terwyl die afstand altyd positief sal wees.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante