Hoe om logaritmes te verdeel

Alhoewel logaritmes moeilik is om te gebruik, is dit net `n kwessie om die korrekte tegnieke te leer, soos met eksponente of polinoom. Om twee logaritmes te verdeel wat dieselfde basis het of `n logaritme uit te brei wat `n kwosiënt bevat, moet jy net enkele basiese eienskappe ken.

conținut

Stappe
Metode 1verdeel logaritmes met die hand
Metode 2werk met die logaritme van `n kwosiënt

stappe

Metode 1
Verdeel logaritmes met die hand

Prent getiteld Verdeel Logaritmes Stap 1

Kyk of daar negatiewe getalle en een is. Hierdie metode sal probleme aanspreek wat die vorm het

{ displaystyle { frac { log_ {b} (x)} { log_ {b} (a)}}}

,alhoewel daar sekere spesiale gevalle is waarin dit nie werk nie:

Die logaritme van `n negatiewe getal is onbepaald in alle basisse (as ${ displaystyle log (-3)}$ of ${ displaystyle log _ {4} (- 5)}$ ). In hierdie geval moet u skryf "daar is geen oplossing nie".
Die logaritme van nul is ook onbepaald in alle basisse. As jy `n term soos ${ displaystyle ln (0)}$ ,jy moet ook skryf "daar is geen oplossing nie".
Die logaritme van 1 op enige basis ( ${ displaystyle log (1)}$ ) is altyd gelyk aan nul. Dit is omdat ${ displaystyle x ^ {0} = 1}$ vir alle waardes van x. In hierdie geval vervang die volgende logaritme met 1, in plaas van die onderstaande metode te gebruik.
As twee logaritmes verskillende basisse het, soos in die geval van ${ displaystyle { frac {log_ {3} (x)} {log_ {4} (a)}}}$ ,en nie een van hulle kan vereenvoudig word totdat `n heelgetal verkry is nie, die probleem kan nie met die hand opgelos word nie.

Prent getiteld Verdeel Logaritmes Stap 2

Verander die uitdrukking in `n logaritme. Nou kan jy die probleem vereenvoudig totdat jy `n enkele logaritme kry (met dien verstande dat jy nie een van die uitsonderings hierbo genoem het nie). Om dit te doen, gebruik die formule

{ displaystyle { frac { log_ {b} (x)} { log_ {b} (a)}} = log_ {a}

Voorbeeld 1: los op

{ displaystyle { frac { log {16}} { log {2}}}}

.
Om te begin, skakel dit om in `n enkele logaritme deur gebruik te maak van die vorige formule:

{ displaystyle { frac { log {16}} { log {2}}} = log _ {2} (16)}

Dit is die formule vir "basisverandering" Dit word verkry uit die basiese logaritmiese eienskappe.

Prent getiteld Verdeel logaritmes Stap 3

Bereken die berekening met die hand indien moontlik. Onthou dat jy die uitdrukking moet oorweeg "

{ displaystyle a ^ {?} = x}

" of "Watter eksponent kan ek verhaal a te verkry x?" om op te los ${ displaystyle log _ {a} (x)}$ .Hou in gedagte dat dit nie altyd opgelos kan word sonder om `n sakrekenaar te gebruik nie, maar hopelik kan u `n logaritme kry wat maklik vereenvoudig kan word.

Voorbeeld 1 (vervolg): Herskryf

{ displaystyle log 2 (16)}

{ displaystyle 2 ^ {?} = 16}

.Die antwoord op die probleem is die waarde van "?" maar jy mag dalk die proef en fout toepas om dit te vind:

{ displaystyle 2 ^ {2} = 2 * 2 = 4}

{ displaystyle 2 ^ {3} = 4 * 2 = 8}

{ displaystyle 2 ^ {4} = 8 * 2 = 16}

Die antwoord wat u op soek was, was 16, so

{ displaystyle log 2 (16)}

= 4.

Prent getiteld Verdeel Logaritmes Stap 4

Laat die antwoord in die vorm van `n logaritme as u dit nie kan vereenvoudig nie. Dit is baie moeilik om `n paar logaritmes met die hand op te los, dus as jy die antwoord vir praktiese doeleindes benodig, moet jy dalk `n sakrekenaar gebruik. Aan die ander kant, as jy die probleem vir `n wiskunde klas gaan oplos, is dit waarskynlik dat die onderwyser verwag dat die antwoord in die vorm van `n logaritme moet wees. Dit is nog `n voorbeeld van die toepassing van hierdie metode op `n moeiliker probleem:

Voorbeeld 2: hoeveel is

{ displaystyle { frac { log_ {3} (58)} { log_ {3} (7)}}}

Skakel dit om in `n enkele logaritme:

{ displaystyle { frac { log_ {3} (58)} { log_ {3} (7)}} = log_ {7} (58)}

.(Let daarop dat, in elke aanvanklike logaritme, die ₃ verdwyn, wat ook van toepassing is op alle basisse).

Herskryf dit as

{ displaystyle 7 ^ {?} = 58}

en probeer moontlike waardes vir "?":

{ displaystyle 7 ^ {2} = 7 * 7 = 49}

{ displaystyle 7 ^ {3} = 49 * 7 = 343}

Die 58 is tussen albei getalle, dus nie een van die antwoorde van

{ displaystyle log _ {7} (58)}

Dit sal `n heelgetal wees.

Laat die antwoord as

{ displaystyle log _ {7} (58)}

Metode 2
Werk met die logaritme van `n kwosiënt

Prent getiteld Verdeel Logaritmes Stap 5

Dit begin met `n delingsprobleem binne `n logaritme. Hierdie afdeling sal jou leer hoe om probleme op te los wat uitdrukkings in die vorm bevat

{ displaystyle log _ {a} ({ frac {x} {y}})}

Begin byvoorbeeld met die volgende probleem:
"Vind die waarde van n ja ${ displaystyle log_ {3} ({ frac {27} {6n})) = - 6- log_ {3} (6)}$ ".

Prent getiteld Verdeel Logaritmes Stap 6

Kyk of daar negatiewe getalle is. Die logaritme van `n negatiewe getal is ongedefinieerd, so as x of en dit is negatiewe getalle, moet jy bevestig dat die probleem `n oplossing het voordat jy kan voortgaan.

indien x of en dit is `n negatiewe getal, die probleem sal geen oplossing hê nie.

indien albei is negatiewe getalle, gebruik die eiendom ${ displaystyle { frac {-x} {- y}} = { frac {x} {y}}}$ om die tekens uit te skakel.

Die voorbeeld probleem bevat nie logaritmes van negatiewe getalle nie, so jy kan voortgaan na die volgende stap.

Prent getiteld Verdeel Logaritmes Stap 7

Brei die kwosiënt uit totdat jy twee logaritmes kry. Die formule

{ Display log _ {n} ({ frac {x} {y}}) = teken _ {n} (x) - teken _ {n} (y)}

beskryf `n nuttige eienskap van logaritmes, wat bepaal dat die logaritme van `n verhouding gelykstaande aan die logaritme altyd teller minus die logaritme van die deler.

Gebruik hierdie formule om die linkerkant van die probleem uit te brei:

{ Display log _ {3} ({ frac {27}}} {6n) = teken _ {3} (27) - log _ {3} (6n)}

Vervang die resultaat in die oorspronklike vergelyking:

{ displaystyle log_ {3} ({ frac {27} {6n})) = - 6- log_ {3} (6)}

→

{ displaystyle log_ {3} (27) - log_ {3} (6n) = - 6 log_ {3} {6}}

Prent getiteld Verdeel Logaritmes Stap 8

Vereenvoudig die logaritmes as jy kan. As die antwoord van enige van die nuwe logaritmes in die uitdrukking `n hele getal is, kan jy hulle in hierdie stap vereenvoudig.

In die voorbeeld van die voorbeeld is daar `n nuwe term:

{ displaystyle log _ {3} (27)}

.3 = 27, sodat jy kan vereenvoudig

{ displaystyle log _ {3} (27)}

totdat jy kry 3.

Nou is die volledige vergelyking soos volg:

{ displaystyle 3- log_ {3} (6n) = - 6- log_ {3}}

Prent getiteld Verdeel Logaritmes Stap 9

Isoleer die veranderlike. Dit sal nuttig wees om die term wat die veranderlike aan die een kant van die vergelyking bevat, te isoleer, soos u sou in enige algebra-probleem. Waar moontlik, vereenvoudig die vergelyking deur soortgelyke terme te kombineer.

{ displaystyle 3- log_ {3} (6n) = - 6- log_ {3}}

{ displaystyle 9- log_ {3} (6n) = - log 3 (6)}

{ displaystyle log_ {3} (6n) = 9 + log 3 (6)}

Prent getiteld Verdeel Logaritmes Stap 10

Gebruik die bykomende eienskappe van die logaritmes soos benodig. As u die veranderlike van die ander terme binne dieselfde logaritme wil isoleer, kan u dit Herskryf die term deur ander logaritmiese eienskappe.

In die probleem van die voorbeeld, n is nog binne vasgevang ${ displaystyle log_ {3} (6n)}$ .
Gebruik die eienskap van die produk van die logaritmes om te isoleer N: ${ displaystyle log_ {a} (bc) = log_ {a} (b) + log {a} (c)}$
${ displaystyle log_ {3} (6n) = log_ {3} (6) + log_ {3} (n)}$

Vervang die resultaat in die volledige vergelyking:

{ displaystyle log_ {3} (6n) = 9 + log 3 (6)}

{ displaystyle log_ {3} (6) + log_ {3} (n) = 9 + log_ {3} (6)}

Prent getiteld Verdeel Logaritmes Stap 11

Hou vereenvoudiging totdat u die oplossing kry. Los die probleem op deur weer dieselfde algebraïese en logaritmiese tegnieke te gebruik. As die oplossing vir die probleem nie `n heelgetal is nie, Rond na die naaste beduidende syfer met `n sakrekenaar.