Hoe om afgeleides te bereken

Afgeleides kan gebruik word om baie bruikbare kenmerke op `n grafiek te verkry, soos maksimums, minimum, hellings, ens. Jy kan dit gebruik om ingewikkelde vergelykings te grafiek. Ongelukkig is om die afgeleides te kry, is baie vervelig, maar hierdie artikel sal jou `n paar wenke en truuks vertel wat jou kan help.

conținut

Stappe
Metode 1
Metode 2
Metode 3
Metode 4
Wenke
Waarskuwings

stappe

Prent getiteld Neem Afgeleides in Calculus Stap 1

Verstaan wat die notasie van die afgeleide is.

Die Leibniz-notasie is die algemeenste waar die vergelyking `y` en `x` behels. dy / dx beteken "die afgeleide van y met betrekking tot `x`". Dit kan nuttig wees om daaraan te dink as Δy / Δx vir die waardes van `x` en `y` wat oneindig verskil van mekaar. Hierdie verduideliking leen hom tot die definisie van die limiet van `n afgeleide: lim_{h-> 0} (f (x + h) -f (x)) / h. As jy hierdie notasie vir `n tweede afgeleide gebruik, moet jy skryf: dy / dx.
Lagrange notasie Die afgeleide van `n funksie word ook as f `(x) geskryf. Hierdie notasie word uitgespreek "f bonus van x". Hierdie notasie is korter as Leibniz`s, en is nuttig wanneer ons die afgeleide as `n funksie sien. Om hoë-orde-afgeleides te vorm, voeg eenvoudig `n ander `` `by` f, `sodat die tweede afgeleide f` `(x) is.

Prent getiteld Neem Afgeleides in Calculus Stap 2

Verstaan wat `n afgeleide is en waarvoor dit gebruik word. Eerstens, om die helling van `n lyngrafiek te vind, neem twee punte van die lyn, en hul koördinate word in die vergelyking geplaas (en₂ - en₁) / (x₂ - x₁). Dit kan egter net met lyngrafieke gebruik word. Vir kwadratiese en hoër rangvergelykings sal die lyn geboë wees, dus die verskil van twee punte sal nie akkuraat wees nie. Om die helling van `n raaklyn van `n geboë grafiek te kan vind: [f (x + dx) - f (x)] / dx. Dx beteken "delta x", wat die verskil is tussen twee koördinate van x van die twee punte op die grafiek. Let daarop dat hierdie vergelyking dieselfde is as (en₂ - en₁) / (x₂ - x₁), net op `n ander manier. Aangesien ons weet dat die uitslag verkeerd sal wees, moet ons `n indirekte benadering volg. Om die helling van die raaklyn in (x, f (x)) te kry, moet dx 0 nader, sodat die twee punte wat geneem word, in een punt aansluit. Jy kan egter nie met 0 verdeel nie, dus nadat jy die waardes van die twee punte gesit het, moet jy faktor en ander metodes maak om dx aan die onderkant van die vergelyking te kanselleer. Sodra jy dit gedoen het, stel dx op 0 en los dit op. Dit is die helling van die raaklyn in (x, f (x)). Die afgeleide van `n vergelyking is die generiese vergelyking om die helling van enige raaklyn van `n grafiek te vind. Dit lyk dalk baie ingewikkeld, maar hier is `n paar voorbeelde wat kan verduidelik hoe om die afgeleide te verkry.

Metode 1

Eksplisiete Differensiasie

Prent getiteld Neem Afgeleides in Calculus Stap 3

Gebruik eksplisiete differensiasie as jy `en` aan die een kant het.

Prent getiteld Neem Afgeleides in Calculus Stap 4

Plaas die vergelyking in die vergelyking [f (x + dx) - f (x)] / dx. Byvoorbeeld, as die vergelyking y = x is, sal die afgeleide [(x + dx) - x] / dx wees.

Prent getiteld Neem Afgeleides in Calculus Stap 5

Brei uit en faktor dx om die vergelyking te vorm [dx (2x + dx)] / dx. Nou kan jy die twee dx`s bo en onder af kanselleer. Die resultaat is 2x + dx, en wanneer dx nader 0, is die afgeleide 2x. Dit beteken dat die helling van enige raaklyn van die grafiek y = x 2x is. Plaas net die waarde van x by die punt waar jy die helling wil kry.

Prent getiteld Neem Afgeleides in Calculus Stap 6

Leer die patrone om die afgeleide na soortgelyke vergelykings te verkry. Hier is `n paar voorbeelde:

Die afgeleide van enige krag is die krag met die waarde van die krag minus 1. Byvoorbeeld, die afgeleide van x is 5x, en die afgeleide van x is 3.5x. As daar reeds `n aantal teenoorgestelde x is, vermeerder dit dan met die krag. Byvoorbeeld, die afgeleide van 3x is 12x.

Die afgeleide van enige konstante is nul. Dus is die afgeleide van 8 0.

Die afgeleide van `n som is die som van sy individuele afgeleides. Byvoorbeeld, die afgeleide van x + 3x is 3x + 6x.

Die afgeleide van `n produk is die eerste faktor deur die afgeleide van die tweede faktor plus die tweede faktor deur die afgeleide van die eerste faktor. Byvoorbeeld, die afgeleide van x (2x + 1) is x (2) + (2x + 1) 3x, wat gelyk is aan 8x + 3x.

Die afgeleide van `n kwosiënt (sê f / g) is [g (afgelei van f) - f (afgelei van g)] / g. Byvoorbeeld, die afgeleide van (x + 2x - 21) / (x - 3) is (x - 6x + 15) / (x - 3).

Metode 2

Implisiete Differensiasie

Prent getiteld Neem Afgeleides in Calculus Stap 7

Gebruik `n implisiete differensiasie wanneer die vergelyking nie maklik met `y` slegs aan een kant geskryf kan word nie. Selfs as jy `en` aan die een kant kon skryf, sou computing dy / dx vervelig wees. Hier volg `n paar voorbeelde van hoe om hierdie soort vergelykings op te los.

Prent getiteld Neem Afgeleides in Calculus Stap 8

In hierdie voorbeeld, xy + 2y = 3x + 2y, vervang y met f (x), so jy sal onthou dat `y` die funksie is. Die vergelyking word xf (x) + 2 [f (x)] = 3x + 2f (x).

Prent getiteld Neem Afgeleides in Calculus Stap 9

Om die afgeleide van hierdie vergelyking te vind, moet u die afgeleide van beide kante van die vergelyking vind ten opsigte van x. Die vergelyking word dan xf `(x) + 2xF (x) + 6 [f (x)] f` (x) = 3 + 2f `(x).

Prent getiteld Neem Afgeleides in Calculus Stap 10

Vervang f (x) met `y` weer. Wees versigtig om nie dieselfde te doen met f `(x) nie, wat verskil van f (x).

Prent getiteld Neem Afgeleides in Calculus Stap 11

Los op vir f `(x). Die antwoord van hierdie voorbeeld sal so lyk: (3 - 2xy) / (x + 6y - 2).

Metode 3

Groot Orde Afgeleides

Prent getiteld Neem Afgeleides in Calculus Stap 12

Om die afgeleide van orde groter as `n funksie te bereken, beteken om die afgeleide van die afgeleide te bereken (in volgorde van 2). Byvoorbeeld, as u gevra word om die derde-orde afgeleide te bereken, moet u die afgeleide van die afgeleide van die afgeleide bereken. Vir sommige vergelykings bereik die afgeleide van hoër orde 0.

Metode 4

Die Reël van die Ketting

Prent getiteld Neem Afgeleides in Calculus Stap 13

Wanneer y `n funksie afgelei van `y`, en z is `n funksie afgelei van `Z`, en z is `n afgeleide funksie van `x`, en die afgeleide van `en` na ` x `(dy / dx) is (dy / du) * (du / dx). Die kettingreël kan ook vergelykings saamstel, soos hierdie een: (2x - x). Om die afgeleide te vind, dink net aan die produkreël. Vermenigvuldig die vergelyking deur die krag en verminder die krag met 1. Vermeerder dan die vergelyking deur die afgeleide van die binnekant van die krag (in hierdie geval, 2x ^ 4 - x). Die antwoord op hierdie probleem is 3 (2x - x) (8x - 1).

wenke

Jy moet jou sakrekenaar goed ken - probeer verskeie funksies van jou sakrekenaar om sy gebruike te leer. Dit is veral nuttig om te weet hoe om die raaklyn- en afgeleide funksie van u sakrekenaar te gebruik.
Die afgeleide van `yz` (waar `y` en `z` is funksies) is nie bloot 1 nie, aangesien `y` en `z` afsonderlike funksies is. Gebruik die produkreël: yz = y (1) + z (1) = y + z.
Oefen die produkreël, die kwosiëntreël, die kettingreël en veral die implisiete differensiasie, aangesien u die moeilikste in berekening is.
Memoriseer basiese trigonometriese afgeleides en hoe om hulle te manipuleer.
As jy `n groot probleem sien, moenie bekommerd wees nie. Probeer dit net in klein stukkies te skei deur die reëls toe te pas. Probeer dan die afgeleide van daardie dele afsonderlik te bereken.

waarskuwings

Jy sal nie vergeet die minusteken is teenoorgestelde f (afgelei van g) wanneer die gebruik van die reël cociente- dit is `n algemene wanopvatting wat kan maak dat jy siek dien die hele probleem.

Deel op sosiale netwerke:

Verwante